L'infinito

Il Paradosso di Achille e la tartaruga

di Giovanni Lacava

Achille e la tartaruga

Concetto di serie- Achille/Tartaruga

Uno dei concetti meno intuitivi secondo l'esperienza umana è il concetto della somma infinita di termini finiti.
Sia per mancanza di mezzi che di costrutti logico-matematici ancora non maturi tale concetto fu espresso tramite il noto Paradosso di Achille e la tartaruga di Zenone nell'antica Grecia.
Aristotele espose nella seguente maniera il paradosso : «Un mobile più lento non può essere raggiunto da uno più rapido; giacché quello che segue deve arrivare al punto che occupava quello che è seguito e dove questo non è più (quando il secondo arriva); in tal modo il primo conserva sempre un vantaggio sul secondo».
In maniera più semplice se in una sfida impari il pelide Achille sfidasse una tartaruga lasciandogli 10 metri di vantaggio lo stesso non raggiungerebbe mai la medesima.
Per avvalorare la sua tesi la spiegazione si compose così: Nell'istante di tempo T0 Achille arriverà ad occupare la posizione iniziale della tartaruga, essa però nello stesso tempo si sarà spostata di uno spazio S0 e sarà ancora più avanti di Achille.
Per quanto il divario tra i due si possa ridurre non arriverà mai ad azzerrarsi perché la tartaruga percorrerà sempre uno spazio S piccolo qualsivoglia che le darà un vantaggio su Achille.
Secondo Aristotele il tempo e lo spazio sono divisibili all'infinito in potenza, ma nella realtà osservabile questo non è vero, per Zenone una distanza finita non è percorribile perché si può dividere infinite volte, a livello mentale nella realtà osservabile lo spazio si compone di parti finite e può essere percorsa.

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Si deve arrivare all'inizio del 1700 per la definizione rigorosa di somma infinita nota come Serie, perciò il concetto mentale di sommare infiniti numeri trova poi un riscontro oggettivo anche nella realtà e come tale può avere come risultato un numero finito.
La famosa Serie Geometrica rappresenta un esempio di sommatoria infinita con risultato finito sotto particolari condizioni, tale serie è definita in modo tale che il rapporto tra due termini successivi resti costante, per il particolare caso di |x|<1  la serie converge al valore:

Le considerazioni precedenti fanno capire quanto Zenone con questo paradosso avesse "messo il dito nella piaga": segnalando la difficoltà di essere rigorosi nei ragionamenti riguardanti l'infinito.
Prendendo come esempio nozioni principalmente riguardanti il movimento e facendo notare che quando analizzate in maniera più attenta esse potessero racchiudere una grande complessità, dimostrò che la loro matematizzazione fosse un'opera molto ardua.

Immagini da:
- Wikipedia, Daniele Pugliesi, CC BY-SA 3.0   
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